[奧數(shù)課堂]添加輔助線架起解題橋

[奧數(shù)課堂]添加輔助線架起解題橋

　　這是北京市小學(xué)生第十五屆《迎春杯》數(shù)學(xué)競賽決賽中的填空題，恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線，可以用多種方法來解答。

分析 由四邊形ABCD是正方形，BE＝1，EC=2，DF＝1，可知正方形的邊長是3、FC＝2，三角形ECF是等腰直角三角形，它的面積是（2×2÷2＝）2。

　　過E點(diǎn)作EG∥AB（見圖1），這樣正方形被分成兩個長方形ABEG和ECDG，長方表ECDG的面積是2×3=6。在ECDG這個長方形中，四邊形ECFP

解法一 將EG三等分，則每一段的長都是1，所以三個三角形EPL、LPK、KPG的面積是相等的。由于GK=DF＝1，所以三角形KPG與FDP的面

解法二 過P點(diǎn)作PN∥EG，PN把長方形ECDG分成兩個長方形ENPG和NCDP，再過F點(diǎn)作FM∥DP，F(xiàn)M把長方形NCDP分成兩個長方形NCFM和MFDP（見圖2）。

ENP與EPG面積相等，在長方形MFDP中，三角形MFP與FDP面積相等，所以

解法三 連結(jié)PC，三角形ECP的面積是（2×3÷2＝）3，由于四

題目 四個足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，每兩隊都要賽一場。如果踢平，每隊各得1分，否則勝隊得3分，負(fù)隊得0分。比賽結(jié)果，各隊的總得分恰好是四個連續(xù)的自然數(shù)。問：輸給第一名的隊的總分是多少？

　　這是一道邏輯推理問題。解題的關(guān)鍵是：首先要求出比賽的場數(shù)，再根據(jù)勝負(fù)的得分情況，估算出四個隊總得分的范圍，最后再根據(jù)四隊得分是四個連續(xù)的自然數(shù)，推理出各隊的得分，及每兩隊比賽的勝負(fù)情況，就能算出輸給第一名的隊的總分。

　　這是北京市迎春杯小學(xué)生第十五屆《迎春杯》數(shù)學(xué)競賽決賽中的解答題。

分析與解析 四個隊進(jìn)行單循環(huán)賽，共要賽（4×3）÷2=6場。如果每場都踢平，則6場比賽四個隊共得了（2×6＝）12分；如果每場都分出勝負(fù)，則6場比賽四個隊共得了（3×6=）18分，因此四隊的總得分在12分～18分。

　　因?yàn)樗膫€隊的得分是四個連續(xù)的自然數(shù)，而1＋2＋3＋4＝10，2＋3＋4＋5=14，3＋4＋5＋6＝18，顯然，四個隊的總得分是14分，各隊的得分分別是2、3、4、5分。

　　根據(jù)平分辦法：踢平每隊各得1分，分出勝負(fù)，勝隊得3分，負(fù)隊得0分，可知6場比賽分出勝負(fù)的場數(shù)：（14－12）÷（3－2）＝2場。

　　假設(shè)A隊得5分，B隊得4分，C隊得3分，D隊得2分。由C隊得3分，可知C隊與A、B、D隊比賽均踢平；由D隊得2分，可知D隊與A、B隊比賽時一場平一場負(fù)；由A、B兩隊得分都高于3分，又只有兩場比賽分出勝負(fù)，可知A、B兩隊各踢勝一場，又由于5=3＋1+1，4=3＋1＋0，所以A隊一勝兩平，B隊一勝一平一負(fù)。這樣，只能是A隊勝B隊，B隊勝D隊，其余四場均踢平。輸給第一名（A隊）的隊（B隊）的總分是4分。