不等式的應(yīng)用

不等式的應(yīng)用

不等式的應(yīng)用

 不等式與各個(gè)數(shù)學(xué)分支都有密切的聯(lián)系,利用“大于”、“小于”關(guān)系,以及不等式一系列的基本性質(zhì)能夠解決許多有趣的問題,本講主要結(jié)合例題介紹一下這方面的應(yīng)用.

  1 已知x0,-1y0,將x,xyxy2按由小到大的順序排列.

  分析 用作差法比較大小,即若a-b0,則ab;若a-b0,則ab

   因?yàn)?/font>x-xy=x(1-y),并且x0,-1y0,所以x(1-y)0,則xxy

  因?yàn)?/font>xy2-xy=xy(y-1)0,所以xy2xy

  因?yàn)?/font>x-xy2=x(1+y)(1-y)0,所以xxy2

  綜上有xxy2xy

  2

  試比較A,B的大小.

  

顯然,2xy,y0,所以2x-y0,所以A-B0,AB

  3 若正數(shù)a,bc滿足不等式組

  試確定a,bc的大小關(guān)系.

  解①+c

  +a

  +b

  由④,⑤得

  同理,由④,⑥得bC

  所以a,bc的大小關(guān)系為bca

  4 當(dāng)k取何值時(shí),關(guān)于x的方程

  分別有(1)正數(shù)解;(2)負(fù)數(shù)解;(3)不大于1的解.

   將原方程變形為(3+k)x=2

  (1)當(dāng) 3+k0,即 k-3時(shí),方程有正數(shù)解.

  (2)當(dāng)3+k0,即k-3時(shí),方程有負(fù)數(shù)解.

  (3)當(dāng)方程解不大于1時(shí),有

  所以1+k,3+k應(yīng)同號(hào),即

   

  得解為      k-1k-3

  注意 由于不等式是大于或等于零,所以分子1+k可以等于零,而分母是不能等于零的。

  5已知

  求|x-1-x+3|的最大值和最小值.

  

   x-1-x+3

          

  

達(dá)到最大值4.結(jié)合x-3時(shí)的情形,得到:在已

  說明 對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的問題,無法統(tǒng)一處理.一般情況下,是將實(shí)數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間,分別進(jìn)行討論,即可脫去絕對(duì)值符號(hào).

  6 已知x,y,z為非負(fù)實(shí)數(shù),且滿足

  u=5x+4y+2z的最大值和最小值.

   將已知的兩個(gè)等式聯(lián)立成方程組

  所以①+②得

  y=40-2x代入①可解得

  因?yàn)?/font>y,z均為非負(fù)實(shí)數(shù),所以

  解得 10x20

  于是

  當(dāng)x值增大時(shí),u的值減小;當(dāng)x值減小時(shí),u的值增大.故當(dāng)x=10時(shí),u有最大值130;當(dāng)x=20時(shí),u有最小值120

  7 設(shè)ab,cd均為整數(shù),且關(guān)于x的四個(gè)方程

的根都是正數(shù),試求a可能取得的最小值是多少?

   由已知(a-2b)x=1,且根x0,所以a-2b0,又因?yàn)?/font>a,b均為整數(shù),所以a-2b也為整數(shù),所以

  同理可得,b3c+1,c4d+1,d101.所以

a可能取得的最小值為2433

  

  pq的值.

   由已知

  

  所以 21q30p22q

  因?yàn)?/font>p,q都為自然數(shù),所以當(dāng)q分別等于1,23,4,5,6時(shí),無適當(dāng)?shù)?/font>p值使21q30p22q成立.當(dāng)q7時(shí),14730p154,取p=5可使該不等式成立.所以q最小為7,此時(shí)p=5.于是 pq=5×7=35

  9 已知:bc,1ab+ca+1,求證: ba

  分析與證明 要學(xué)會(huì)充分利用不等式的基本性質(zhì),按照一定的邏輯順序來展開推理論證.

  因?yàn)?/font>bc,所以2bb+c,所以由b+ca+12ba+1,所以由1a1+a2a,所以

  ba成立.

  

  分析與解 由題設(shè)可知x1y2,z3,所以

  x3時(shí),

  也不成立,故x只能為2

  當(dāng)x=2時(shí),

  y=3,則z=6

  當(dāng) x=2,y4時(shí),

不成立.

  故本題只有一組解,即x=2y=3,z=6

  11 某地區(qū)舉辦初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,有A,B,CD四所中學(xué)參加,選手中, A, B兩校共16名;B,C兩校共 20名; C, D兩校共34名,并且各校選手人數(shù)的多少是按A,BC,D中學(xué)的順序選派的,試求各中學(xué)的選手人數(shù).

   設(shè)AB,CD四校的選手人數(shù)分別為x,y,zu.據(jù)題意有

  由①,②可知,x+yy+z,所以xz.又由于人數(shù)的多少是按AB,C,D四校的順序選派的,所以有xyzu

  由①與xy16-y=xy,所以y8.由②與yz20-y=zy,所以y10.于是8y10,所以y=9(因?yàn)槿藬?shù)是整數(shù)).將y=9代入①,②可知x=7,z=11,再由③有u=23

  A7人,B9人,C11人,D23人.

   

注意到x只能取1,2,3,4,…,9這九個(gè)數(shù)字,所以x=2,所以

所以y=1,z=4

所以x=2y=1,z=4

  1.如果abc,并且xyz,那么在四個(gè)代數(shù)式

  (1) ax+by+cz;(2)ax+bz+cy

  (3) ay+bx+cz;(4) az+bx+cy

    中哪一個(gè)的值最大?

  2.不等式10(x+4)+x62的正整數(shù)解是方程

  3.已知y=x+2+x-1-3x-6|,求y的最大值.

  4.已知xy,z都為自然數(shù),且xy,當(dāng)x+y=1998,z-x=2000時(shí),求x+y+z的最大值.

  5.若x+y+z0,xy+yz+zx0xyz0,試證:x0y0,z0

  能值之和是多少?

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