不等式的應(yīng)用
不等式的應(yīng)用
不等式與各個(gè)數(shù)學(xué)分支都有密切的聯(lián)系,利用“大于”、“小于”關(guān)系,以及不等式一系列的基本性質(zhì)能夠解決許多有趣的問題,本講主要結(jié)合例題介紹一下這方面的應(yīng)用. 例1 已知x<0,-1<y<0,將x,xy,xy2按由小到大的順序排列. 分析 用作差法比較大小,即若a-b>0,則a>b;若a-b<0,則a<b. 解 因?yàn)?/font>x-xy=x(1-y),并且x<0,-1<y<0,所以x(1-y)<0,則x<xy. 因?yàn)?/font>xy2-xy=xy(y-1)<0,所以xy2<xy. 因?yàn)?/font>x-xy2=x(1+y)(1-y)<0,所以x<xy2. 綜上有x<xy2<xy. 例2 若 試比較A,B的大小.
顯然,2x>y,y>0,所以2x-y>0,所以A-B>0,A>B. 例3 若正數(shù)a,b,c滿足不等式組 試確定a,b,c的大小關(guān)系. 解①+c得 ②+a得 ③+b得 由④,⑤得 同理,由④,⑥得b<C. 所以a,b,c的大小關(guān)系為b<c<a. 例4 當(dāng)k取何值時(shí),關(guān)于x的方程 分別有(1)正數(shù)解;(2)負(fù)數(shù)解;(3)不大于1的解. 解 將原方程變形為(3+k)x=2. (1)當(dāng) 3+k>0,即 k>-3時(shí),方程有正數(shù)解. (2)當(dāng)3+k<0,即k<-3時(shí),方程有負(fù)數(shù)解. (3)當(dāng)方程解不大于1時(shí),有 所以1+k,3+k應(yīng)同號(hào),即
得解為 k≥-1或k<-3. 注意 由于不等式是大于或等于零,所以分子1+k可以等于零,而分母是不能等于零的。 例5已知 求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值.
|x-1|-|x+3|
達(dá)到最大值4.結(jié)合x<-3時(shí)的情形,得到:在已 說明 對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的問題,無法統(tǒng)一處理.一般情況下,是將實(shí)數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間,分別進(jìn)行討論,即可脫去絕對(duì)值符號(hào). 例6 已知x,y,z為非負(fù)實(shí)數(shù),且滿足 求u=5x+4y+2z的最大值和最小值. 解 將已知的兩個(gè)等式聯(lián)立成方程組 所以①+②得 將y=40-2x代入①可解得 因?yàn)?/font>y,z均為非負(fù)實(shí)數(shù),所以 解得 10≤x≤20. 于是 當(dāng)x值增大時(shí),u的值減小;當(dāng)x值減小時(shí),u的值增大.故當(dāng)x=10時(shí),u有最大值130;當(dāng)x=20時(shí),u有最小值120. 例7 設(shè)a,b,c,d均為整數(shù),且關(guān)于x的四個(gè)方程 的根都是正數(shù),試求a可能取得的最小值是多少? 解 由已知(a-2b)x=1,且根x>0,所以a-2b>0,又因?yàn)?/font>a,b均為整數(shù),所以a-2b也為整數(shù),所以 同理可得,b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以 故a可能取得的最小值為2433.
求pq的值. 解 由已知
所以 21q<30p<22q. 因?yàn)?/font>p,q都為自然數(shù),所以當(dāng)q分別等于1,2,3,4,5,6時(shí),無適當(dāng)?shù)?/font>p值使21q<30p<22q成立.當(dāng)q=7時(shí),147<30p<154,取p=5可使該不等式成立.所以q最小為7,此時(shí)p=5.于是 pq=5×7=35. 例9 已知:b<c,1<a<b+c<a+1,求證: b<a. 分析與證明 要學(xué)會(huì)充分利用不等式的基本性質(zhì),按照一定的邏輯順序來展開推理論證. 因?yàn)?/font>b<c,所以2b<b+c,所以由b+c<a+1得2b<a+1,所以由1<a得1+a<2a,所以 即b<a成立.
分析與解 由題設(shè)可知x≥1,y≥2,z≥3,所以 又x≥3時(shí), 也不成立,故x只能為2. 當(dāng)x=2時(shí), 令y=3,則z=6. 當(dāng) x=2,y≥4時(shí), 不成立. 故本題只有一組解,即x=2,y=3,z=6. 例11 某地區(qū)舉辦初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,有A,B,C,D四所中學(xué)參加,選手中, A, B兩校共16名;B,C兩校共 20名; C, D兩校共34名,并且各校選手人數(shù)的多少是按A,B,C,D中學(xué)的順序選派的,試求各中學(xué)的選手人數(shù). 解 設(shè)A,B,C,D四校的選手人數(shù)分別為x,y,z,u.據(jù)題意有 由①,②可知,x+y<y+z,所以x<z.又由于人數(shù)的多少是按A,B,C,D四校的順序選派的,所以有x<y<z<u. 由①與x<y得16-y=x<y,所以y>8.由②與y<z得20-y=z>y,所以y<10.于是8<y<10,所以y=9(因?yàn)槿藬?shù)是整數(shù)).將y=9代入①,②可知x=7,z=11,再由③有u=23. 故A校7人,B校9人,C校11人,D校23人.
注意到x只能取1,2,3,4,…,9這九個(gè)數(shù)字,所以x=2,所以 所以y=1,z=4. 所以x=2,y=1,z=4. 1.如果a<b<c,并且x<y<z,那么在四個(gè)代數(shù)式 (1) ax+by+cz;(2)ax+bz+cy; (3) ay+bx+cz;(4) az+bx+cy 中哪一個(gè)的值最大? 2.不等式10(x+4)+x<62的正整數(shù)解是方程 3.已知y=|x+2|+|x-1|-|3x-6|,求y的最大值. 4.已知x,y,z都為自然數(shù),且x<y,當(dāng)x+y=1998,z-x=2000時(shí),求x+y+z的最大值. 5.若x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,試證:x>0,y>0,z>0. 能值之和是多少? |