一次不等式(不等式組)的解法
一次不等式(不等式組)的解法
不等式和方程一樣，也是代數(shù)里的一種重要模型．在概念方面，它與方程很類(lèi)似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性質(zhì)，而且“數(shù)學(xué)的基本結(jié)果往往是一些不等式而不是等式”．本講是系統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)．
下面先介紹有關(guān)一次不等式的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．
1．不等式的基本性質(zhì)
這里特別要強(qiáng)調(diào)的是在用一個(gè)不等于零的數(shù)或式子去乘(或去除)不等式時(shí)，一定要注意它與等式的類(lèi)似性質(zhì)上的差異，即當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子大于零時(shí)，不等號(hào)方向不變(性質(zhì)(5))；當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子小于零時(shí)，不等號(hào)方向要改變(性質(zhì)(6))．
2．區(qū)間概念
在許多情況下，可以用不等式表示數(shù)集和點(diǎn)集．如果設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a＜b，那么
(1)滿(mǎn)足不等式a＜x＜b的數(shù)x的全體叫作一個(gè)開(kāi)區(qū)間，記作(a，b)．如圖1－4(a)．
(2)滿(mǎn)足不等式a≤x≤b的數(shù)x的全體叫作一個(gè)閉區(qū)間，記作[a，b]．如圖1－4(b)．
(3)滿(mǎn)足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全體叫作一個(gè)半開(kāi)半閉區(qū)間，記作(a，b](或[a，b))．如圖1－4(c)，(d)．
3．一次不等式的一般解法
一元一次不等式像方程一樣，經(jīng)過(guò)移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、整理后，總可以寫(xiě)成下面的標(biāo)準(zhǔn)型：ax＞b，或ax＜b．為確定起見(jiàn)，下面僅討論前一種形式．
一元一次不等式ax＞b．
(3)當(dāng)a=0時(shí)，
例1 解不等式
解 兩邊同時(shí)乘以6得
化簡(jiǎn)得
兩邊同除以-7，有x≤2．所以不等式的解為x≤2，用區(qū)間表示為(-∞，2]．
例2 求不等式
的正整數(shù)解．
正整數(shù)解，所以原不等式的正整數(shù)解為x=1，2，3．
例3 解不等式
分析與解 因y2+1＞0，所以根據(jù)不等式的基本性質(zhì)有
例4 解不等式
解 將原不等式變形為
解之得
例5 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，試比較
解 首先解關(guān)于x的方程得x=-10．將x=-10代入不等式得
例6 解關(guān)于x的不等式：
解 顯然a≠0，將原不等式變形為
即
說(shuō)明 對(duì)含有字母系數(shù)的不等式的解，也要分情況討論．
例7 已知a，b為實(shí)數(shù)，若不等式
解 由(2a-b)x+3a-4b＜0得
由②可求得
將③代入①得
所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可變形為
因?yàn)?/font>b＜0，所以
下面舉例說(shuō)明不等式組的解法．
不等式組的解是不等式組中所有不等式解的公共部分．
若不等式組由兩個(gè)不等式組成，分別解出每一個(gè)不等式，其解總可以歸納成以下四種情況之一(不妨設(shè)α＜β)：
解分別為：x＞β；x＜α；α＜x＜β；無(wú)解．如圖1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．
若不等式組由兩個(gè)以上不等式組成，其解可由下面兩種方法求得：
(1)轉(zhuǎn)化為求兩兩不等式解的公共部分．如求解
(2)不等式組的解一般是個(gè)區(qū)間，求解的關(guān)鍵是確定區(qū)間的上界與下界，如求解
確定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，從4，8，5，2這四個(gè)數(shù)中選最小的數(shù)作為上界，即x＜2．
確定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．從-4，-6，0，-3中選最大的數(shù)作為下界，即x＞0．
確定好上、下界后，則原不等式組的解為：0＜x＜2．不等式組中不等式的個(gè)數(shù)越多，(2)越有優(yōu)越性．
例8 解不等式組
解 原不等式組可化為
解之得
例9 解關(guān)于x的不等式組
解 解①得
解②得 3mx＞8． ④
(1)當(dāng)m=0時(shí)，③，④變?yōu)?/font>
原不等式組無(wú)解．
(2)當(dāng)m＞0時(shí)，③，④變形為
(3)當(dāng)m＜0時(shí)，由③，④得
1．解下列不等式或不等式組：
2．解下列關(guān)于x的不等式或不等式組：
3．求同時(shí)滿(mǎn)足不等式的整數(shù)解．
關(guān)于x的不等式ax＞b的解是什么？