第三講求代數(shù)式的值

第三講求代數(shù)式的值

　用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進(jìn)行計算，求出代數(shù)式的值，是一個由一般到特殊的過程．具體求解代數(shù)式值的問題時，對于較簡單的問題，代入直接計算并不困難，但對于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡，然后再求值．下面結(jié)合例題初步看一看代數(shù)式求值的常用技巧．

　　例1 求下列代數(shù)式的值：

　　分析 上面兩題均可直接代入求值，但會很麻煩，容易出錯．我們可以利用已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)概念、法則，如合并同類項，添、去括號等，先將代數(shù)式化簡，然后再求值，這樣會大大提高運算的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性．

　　　　　　　　=0-4a³b²-a²b-5

　　　　　　　　=-4×1³×(- 2)²- 1²×(-2)-5

　　　　　　　　=-16+2-5=-19．

　　(2)原式=3x²y-xyz+(2xyz-x²z)+4x²?[3x²y-(xyz-5x²z)]

　　　　　 =3x²y-xyz+2xyz-x²z+4x²z-3x²y+(xyz-5x²z)

　　　　 　=(3x²y-3x²y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x²z+4x²z-5x²z)

　　　　　 =2xyz-2x²z

　　　　　 =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)

　　　　 　=12+6=18．

　　說明 本例中(1)的化簡是添括號，將同類項合并后，再代入求值；(2)是先去括號，然后再添括號，合并化簡后，再代入求值．去、添括號時，一定要注意各項符號的變化．

　　例2 已知a-b=-1，求a³+3ab-b³的值．

　　分析 由已知條件a-b=-1，我們無法求出a，b的確定值，因此本題不能像例1那樣，代入a，b的值求代數(shù)式的值．下面給出本題的五種解法．

　　解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代數(shù)式化簡

　　a³+3ab-b³=(b-1)³+3(b-1)b-b³

　 　　　 　=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3

　 　　　 　=-1．

　　說明 這是用代入消元法消去a化簡求值的．

　　解法2 因為a-b=-1，所以

　　 原式=(a³-b³)+3ab=(a-b)(a²+ab+b²)+3ab

　　　　=-1×(a²+ab+b²)+3ab=-a²-ab-b²+3ab

　　　　=-(a²-2ab+b²)=-(a-b)²

　　　　=-(-1)²=-1．

　　說明 這種解法是利用了乘法公式，將原式化簡求值的．解法3 因為a-b=-1，所以

　　原式=a³-3ab(-1)-b³=a³-3ab(a-b)-b³

　　　　 =a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³

　　　　 =(-1)³=-1．

　　說明 這種解法巧妙地利用了-1=a-b，并將3ab化為-3ab(-1)=-3ab(a-b)，從而湊成了(a-b)3．

　　解法4 因為a-b=-1，所以

　　即 a³+3ab²-3a²b-b³=-1，

　　所以 a³-b³-3ab(-1)=-1，

　　即 a³-b³+3ab=-1．

　　說明 這種解法是由a-b=-1，演繹推理出所求代數(shù)式的值．

　　解法 5

　　a³+3ab-b³=a³+3ab²-3a²b-b³-3ab²+3a²b+3ab

　　　　　　=(a-b)³+3ab(a-b)+3ab

　　　　　　=(-1)³+3ab(-1)+3ab

　　　　　　=-1．

　　說明 這種解法是添項，湊出(a-b)³，然后化簡求值．通過這個例題可以看出，求代數(shù)式的值的方法是很靈活的，需要認(rèn)真思考，才能找到簡便的算法．在本例的各種解法中，用到了幾個常用的乘法公式，現(xiàn)總結(jié)如下：

　　解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代數(shù)式中，消去xy，然后化簡．所以