平行線問題
平行線問題
| 平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形．練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段． 正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識． 正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對象．歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們在使人們認(rèn)識宇宙空間中起著非常重要的作用． 現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”． 在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理．下面我們舉例說明這些知識的應(yīng)用． 例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90° 分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個同側(cè)內(nèi)角，因此∠1+∠2= 過C點(diǎn)作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移． 證 過C點(diǎn)作直線l，使l∥a(圖1－19)．因?yàn)?/font>a∥b，所以b∥l，所以 因?yàn)?/font>AC平分∠1，BC平分∠2，所以 又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內(nèi)錯角相等)，所以 說明 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立， 即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90°，問直線a與直線b是否一定平行？” 由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解． 例2 如圖1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2． 分析 本題對∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關(guān)．也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即 猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發(fā)我們過B1點(diǎn)引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將∠B1一分為二． 證 過B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個角：∠1，∠2(如圖1－22所示)． 因?yàn)?/font>AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而 所以 即 ∠A1-∠B1+∠A2=0． 說明(1)從證題的過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點(diǎn)之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有 (即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即 進(jìn)一步可以推廣為 這時，連結(jié)A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，…，Bn-1An(當(dāng)然，仍要保持 AA1∥BAn)． 推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況． (2)這個問題也可以將條件與結(jié)論對換一下，變成一個新問題． 問題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問AA1與BA2是否平行？ 問題2 如圖1－25所示．若 這兩個問題請同學(xué)加以思考． 例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°， 求∠C． 分析 利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個頂點(diǎn)處，這是最理想不過的了，過F點(diǎn)作BC的平行線恰能實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)． 解 過F到 FG∥CB，交 AB于G，則 因?yàn)?/font> AE∥BD，所以 所以 說明(1)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧． (2)在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即 例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180°． 分析 平角為180°．若能運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三角形三個內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個平角，問題即可解決， 下面方法是最簡單的一種． 證 如圖1－27所示，在△ABC中，過A引l∥BC，則 顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角， 所以 ∠A+∠B+∠C=180°． 說明 事實(shí)上，我們可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論．如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處，不過，解法將較為麻煩．同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法． 例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360°． 分析 應(yīng)用例3類似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程． 證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過頂點(diǎn)B引BE∥AD，BF∥CD，并延長 AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內(nèi)錯角相等)，∠1=∠3(同位角相等)． 又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對頂角相等)． 由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以 說明(1)同例3，周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變． (2)總結(jié)例3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣： 人們不禁會猜想： 這個猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡單． (3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法． 例6 如圖1－29所示．直線l的同側(cè)有三點(diǎn)A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上． 分析A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，該點(diǎn)分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B處． 證 過B作直線 BD，交l于D．因?yàn)?/font>AB∥l，CB∥l，所以 又∠1+∠2=180°，所以 即∠ABC=180°=平角． A，B，C三點(diǎn)共線． 思考 若將問題加以推廣：在l的同側(cè)有n個點(diǎn)A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否還有同樣的結(jié)論？ 例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD． 求證：∠3=∠B． 分析 如果∠3=∠B，則應(yīng)需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應(yīng)有EF∥AD．這一點(diǎn)從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得． 證 因?yàn)?ang;1=∠2，所以 因?yàn)?ang;D=90°及EF⊥CD，所以 所以 BC∥EF(平行公理)， 所以 1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG． 2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)． 3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？ 4．證明：五邊形內(nèi)角和等于540°． 5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB． |