“設(shè)而不求”的未知數(shù)

　　說明 本題中k₁，k₂，k₃均是“設(shè)而不求”的未知數(shù)．

a＞1，并且設(shè)

　　分子：n-13=ak1，①

　　分母：5n+6=ak2．②

　　其中k₁，k₂為自然數(shù)．

　　由①得n=13+ak₁，將之代入②得

　　即 　　　　　　　　　　　　　　　71+5ak₁=ak₂，

　　所以 　　　　　　　　　　　　　　a(k₂-5k₁)=71．

　　由于71是質(zhì)數(shù)，且a＞1，所以a＝71，所以

　　故n最小為84．

　　例5甲、乙、丙、丁四人，每三個(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29，23，21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？

　　解 設(shè)四個(gè)人的年齡分別記為a，b，c，d，根據(jù)題意有

　　比較⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得

　　說明 此題不必求出a，b，c，d的值，只須比較一下，找出最大者與最小者是誰，作差即可求解．

　　例6 設(shè)有n個(gè)數(shù)x₁，x₂，…，x_n，它們的值只能是0，1，2三個(gè)數(shù)中的一個(gè)，如果記

　　試用f₁和f₂表示

　　解 設(shè)在x₁，x₂，…，x_n這幾個(gè)數(shù)中取值為0的有s個(gè)，取值為1的有t個(gè)，取值為2的有r個(gè)，則s+t+r=n，0≤t≤n，0≤s≤n，0≤r≤n，由此得

　　說明 本題借助于s，t，r找到了f_k與f₁，f₂的關(guān)系表達(dá)式．

整除．根據(jù)一個(gè)數(shù)能被9整除的特征有

　　即　　　　　　　　　　　　 α+β+3=9m1(m1為自然數(shù))．

　　又由于　　　　0≤α≤9，0≤β≤9，則有

　　同理，按照一個(gè)數(shù)被11整除的特征有

　　①與②相結(jié)合，并考慮0≤α≤9，0≤β≤9，故只有α=2，β=4．

　　所以原自然數(shù)為 6 224 427．

　　例8 我手中的卡片上寫有一個(gè)三位數(shù)，并且個(gè)位數(shù)不為零，現(xiàn)將個(gè)位與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，取兩數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù))，將所得差的三位數(shù)與此差的個(gè)位、百位數(shù)字對(duì)調(diào)后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？

　　　=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)

　　　=99×a-99×c

　　　=100×a-100×c-100+90+10-a+c

　　　=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．

　　因k是三位數(shù)，所以

　　所以 　　　　　　　　　　　　　2≤10-a+c≤8．

　　故　所求為1089．

　　說明 本例中a，b，c作為參數(shù)被引進(jìn)，但運(yùn)算最終又被消去了，而無須求出它們的值．這正是“設(shè)而不求”的未知數(shù)的典型例子．

　　例9 從兩個(gè)重量分別為12千克(kg)和8千克，且含銅的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)相等．求所切下的合金的重量是多少千克？

　　分析 由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分?jǐn)?shù)，因此只有增設(shè)這兩個(gè)合金含銅的百分?jǐn)?shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分?jǐn)?shù)有關(guān)的其他量為參數(shù)，才能充分利用已知，為列方程創(chuàng)造條件 ．

　　解法1 設(shè)所切下的合金的重量為x千克，重12千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為p，重8千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為q(p≠q)，于是有

整理得 　　　　　　　5(q-p)x=24(q-p)．

　　因?yàn)?/font>p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．