絕對值

絕對值

　　下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對值的基本知識，然后進行例題分析．

　　一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零．即

　　絕對值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認(rèn)識，它與距離的概念密切相關(guān)．在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值．

　　結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對值相等的數(shù)有兩個，它們恰好互為相反數(shù)．反之，相反數(shù)的絕對值相等也成立．由此還可得到一個常用的結(jié)論：任何一個實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)．

　　例1 a，b為實數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應(yīng)附加什么條件？

　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；

　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

　　(4)若｜a｜=b，則a=b；

　　(5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；

　　(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．

　　解 (1)不對．當(dāng)a，b同號或其中一個為0時成立．(2)對．

　　(3)對．

　　(4)不對．當(dāng)a≥0時成立．

　　(5)不對．當(dāng)b＞0時成立．

　　(6)不對．當(dāng)a＋b＞0時成立．

　　例2 設(shè)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖1-1所示，化簡｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

　　解 由圖1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根據(jù)有理數(shù)加減運算的符號法則，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．

　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．

　　例3 已知x＜-3，化簡：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

　　分析 這是一個含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號．

　　解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因為1+x＜0)

　　　　　 =｜3+｜3+x｜｜

　　　　　 =｜3-(3+x)｜(因為3+x＜0)

　　　　　 =｜-x｜=-x．

　　解 因為 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．

　　(1)當(dāng)a，b，c均大于零時，原式=3；

　　(2)當(dāng)a，b，c均小于零時，原式=-3；

　　(3)當(dāng)a，b，c中有兩個大于零，一個小于零時，原式=1；

　　(4)當(dāng)a，b，c中有兩個小于零，一個大于零時，原式=-1．

　　說明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零與小于零的個數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對值問題時很常用．

　　例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

　　解 因為｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．

　　(1)當(dāng)y=2時，x+y=-1；

　　(2)當(dāng)y=-2時，x+y=-5．

　　所以x+y的值為-1或-5．

　　例6 若a，b，c為整數(shù)，且｜a-b｜¹⁹+｜c-a｜⁹⁹=1，試計算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．

　　解 a，b，c均為整數(shù)，則a-b，c-a也應(yīng)為整數(shù)，且｜a-b｜¹⁹，｜c-a｜⁹⁹為兩個非負(fù)整數(shù)，和為1，所以只能是

　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ①

　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②

　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．無論①或②都有

　　解 依相反數(shù)的意義有

　　因為任何一個實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得

　　例8 化簡：｜3x+1｜+｜2x-1｜．

　　分析 本題是兩個絕對值和的問題．解題的關(guān)鍵是如何同時去掉兩個絕對值符號．若分別去掉每個絕對值符號，則是很容易的事．例如，化簡｜3x+1｜，只要考慮3x+1的正負(fù)，即可去掉絕對值符號．這里我們

為三個部分(如圖1－2所示)，即

　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；

　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；

　　　　　 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．

　　說明 解這類題目，可先求出使各個絕對值等于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個分界點，然后在數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點，這樣就將數(shù)軸分成幾個部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡，這種方法又稱為“零點分段法”．

　　例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．

　　分析 首先使用“零點分段法”將y化簡，然后在各個取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者．

　　解 有三個分界點：-3，1，-1．

　　(1)當(dāng)x≤-3時，

由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．

　　(2)當(dāng)-3≤x≤-1時，

由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．

　　(3)當(dāng)-1≤x≤1時，

由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．

　　(4)當(dāng)x≥1時，

由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．

　　綜上可知，當(dāng)x=-1時，y取得最大值為6．

　　例10 設(shè)a＜b＜c＜d，求

　　分析 本題也可用“零點分段法”討論計算，但比較麻煩．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的幾何意義來解題，將顯得更加簡捷便利．

　　解 設(shè)a，b，c，d，x在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A，B，C，D，X，則｜x-a｜表示線段AX之長，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分別表示線段BX，CX，DX之長．現(xiàn)要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點X，使該點到A，B，C，D四點距離之和最小．

　　因為a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列應(yīng)如圖1－3所示：

　　所以當(dāng)X在B，C之間時，距離和最小，這個最小值為AD+BC，即(d-a)+(c-b)．

　　例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值．

　　分析與解 要使原式對任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對值符號，化簡合并時，必須使含x的項相加為零，即x的系數(shù)之和為零．故本題只有2x-5x+3x=0一種情況．因此必須有

　　 故x應(yīng)滿足的條件是

　　1．x是什么實數(shù)時，下列等式成立：

　　(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；

　　(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．

　　2．化簡下列各式：

　　(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．

　　3．若a＋b＜0，化簡｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．

　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．

　　5．設(shè)T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，對于滿足p≤x≤15的x來說，T的最小值是多少？

　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．

　　7．不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B點應(yīng)為( )．

　　(1)在A，C點的右邊；

　　(2)在A，C點的左邊；

　　(3)在A，C點之間；

　　(4)以上三種情況都有可能．