絕對(duì)值
絕對(duì)值
下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對(duì)值的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．
一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零．即
絕對(duì)值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來(lái)認(rèn)識(shí)，它與距離的概念密切相關(guān)．在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離叫這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．
結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對(duì)值相等的數(shù)有兩個(gè)，它們恰好互為相反數(shù)．反之，相反數(shù)的絕對(duì)值相等也成立．由此還可得到一個(gè)常用的結(jié)論：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)．
例1 a，b為實(shí)數(shù)，下列各式對(duì)嗎？若不對(duì)，應(yīng)附加什么條件？
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
(4)若｜a｜=b，則a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；
(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．
解 (1)不對(duì)．當(dāng)a，b同號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)成立．(2)對(duì)．
(3)對(duì)．
(4)不對(duì)．當(dāng)a≥0時(shí)成立．
(5)不對(duì)．當(dāng)b＞0時(shí)成立．
(6)不對(duì)．當(dāng)a＋b＞0時(shí)成立．
例2 設(shè)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖1-1所示，化簡(jiǎn)｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解 由圖1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算的符號(hào)法則，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
再根據(jù)絕對(duì)值的概念，得
于是有
原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
例3 已知x＜-3，化簡(jiǎn)：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
分析 這是一個(gè)含有多層絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，可從里往外一層一層地去絕對(duì)值符號(hào)．
解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因?yàn)?/font>1+x＜0)
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因?yàn)?/font>3+x＜0)
=｜-x｜=-x．
解 因?yàn)?/font> abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．
(1)當(dāng)a，b，c均大于零時(shí)，原式=3；
(2)當(dāng)a，b，c均小于零時(shí)，原式=-3；
(3)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)大于零，一個(gè)小于零時(shí)，原式=1；
(4)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)小于零，一個(gè)大于零時(shí)，原式=-1．
說(shuō)明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零與小于零的個(gè)數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)很常用．
例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
解 因?yàn)椋?/font>x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
(1)當(dāng)y=2時(shí)，x+y=-1；
(2)當(dāng)y=-2時(shí)，x+y=-5．
所以x+y的值為-1或-5．
例6 若a，b，c為整數(shù)，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，試計(jì)算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解 a，b，c均為整數(shù)，則a-b，c-a也應(yīng)為整數(shù)，且｜a-b｜19，｜c-a｜99為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，和為1，所以只能是
?。?/font>a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ①
或
?。?/font>a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．無(wú)論①或②都有
所以
解 依相反數(shù)的意義有
因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得
所以
例8 化簡(jiǎn)：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析 本題是兩個(gè)絕對(duì)值和的問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是如何同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)．若分別去掉每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，則是很容易的事．例如，化簡(jiǎn)｜3x+1｜，只要考慮3x+1的正負(fù)，即可去掉絕對(duì)值符號(hào)．這里我們
為三個(gè)部分(如圖1－2所示)，即
這樣我們就可以分類討論化簡(jiǎn)了．
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
即
說(shuō)明 解這類題目，可先求出使各個(gè)絕對(duì)值等于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個(gè)分界點(diǎn)，然后在數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點(diǎn)，這樣就將數(shù)軸分成幾個(gè)部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡(jiǎn)，這種方法又稱為“零點(diǎn)分段法”．
例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
分析 首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn)，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者．
解 有三個(gè)分界點(diǎn)：-3，1，-1．
(1)當(dāng)x≤-3時(shí)，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
(2)當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
(3)當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
(4)當(dāng)x≥1時(shí)，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
綜上可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最大值為6．
例10 設(shè)a＜b＜c＜d，求
的最小值．
分析 本題也可用“零點(diǎn)分段法”討論計(jì)算，但比較麻煩．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的幾何意義來(lái)解題，將顯得更加簡(jiǎn)捷便利．
解 設(shè)a，b，c，d，x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，D，X，則｜x-a｜表示線段AX之長(zhǎng)，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分別表示線段BX，CX，DX之長(zhǎng)．現(xiàn)要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)X，使該點(diǎn)到A，B，C，D四點(diǎn)距離之和最?。?/font>
因?yàn)?/font>a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列應(yīng)如圖1－3所示：
所以當(dāng)X在B，C之間時(shí)，距離和最小，這個(gè)最小值為AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值．
分析與解 要使原式對(duì)任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對(duì)值符號(hào)，化簡(jiǎn)合并時(shí)，必須使含x的項(xiàng)相加為零，即x的系數(shù)之和為零．故本題只有2x-5x+3x=0一種情況．因此必須有
故x應(yīng)滿足的條件是
此時(shí)
1．x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化簡(jiǎn)下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．若a＋b＜0，化簡(jiǎn)｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
5．設(shè)T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，對(duì)于滿足p≤x≤15的x來(lái)說(shuō)，T的最小值是多少？
6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．
7．不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B點(diǎn)應(yīng)為( )．
(1)在A，C點(diǎn)的右邊；
(2)在A，C點(diǎn)的左邊；
(3)在A，C點(diǎn)之間；
(4)以上三種情況都有可能．